مشروع المصفوفات

يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي إنطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الإنطلاق و الوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. و يمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله:

[1   3 ] عدد صفوفها 1 واعمدتها 2 وعدد عناصرها 2

حيثa13  يمكن أن تكون أعدادا صحيحة أو مركبة كما يمكن أن تكون دالات رياضية, حيث 1 ترمز للصف و3 للعمود .

المصفوفة الصفرية : هي المصفوفة التي تكون جميع عناصرها أصفار .

مصفوفة من الرتبة n تعني أن عدد الصفوف يساوي  nوعدد الأعمدة يساوي n وعدد العناصر  n×n

الجمع والطرح :

شرط جمع المصفوفات وطرحها هو تساوي رتب المصفوفات الموجودة في المعادلة , يكون جمع المصفوفات عملية تبادلية أما طرحها فليس عملية تبديلية , جمع المصفوفات يكون بجمع العناصر المتناظرة وطرح المصفوفات يكون بطرح العناصر المتناظرة ويكون كالتالي:

الجمع:

 [2    8    11  ] + [1   4  3 ] = [ 3   12   14 ]

في حالة عدم تساوي الرتبة لا يجوز الجمع .

الطرح :

[2    8    11  ] -  [1   4  3 ] = [ 1   4   8 ]

في حالة عدم تساوي الرتبة لا يجوز الطرح .

معادلة المصفوفة : هي معادلة إحدى مصفوفاتها غير معلومة .

[2    8    11  ] + k = [ 3   12   14 ]

في هذه المعادلة يتم جعل المتغير في طرف والمصفوفات في طرف .

k =  [2    8    11  ]  - [ 3   12   14 ]

K =[3   4  1 ]  

بالتعويض

[2    8    11  ] + [1   4  3 ] = [ 3   12   14 ]

[ 3   12   14 ] = [ 3   12   14 ]

الضرب

ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر

نضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة، مصفوفة جديدة، تحوي العدد نفسه من العناصر.

ضرب مصفوفة في مصفوفة

•        يجب في البداية أن نعلم أن ضرب المصفوفات غير تبديلي.

•        من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهو مصفوفة)، يجب أن يتحقق الشرط التالي:

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الصفوف في المصفوفة الثانية

بفرض A مصفوفة من الشكل a x b، وB مصفوفة من الشكل c x d، فمن أجل إيجاد A * B، يجب أن يكون b=c.

سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة الصف مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان، حيث:

14

[1   3 ] × [     ] =  13

ونلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر، وبالتالي، فإن ضرب مصفوفة وحيدة الصف مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.

أما عند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، فعندئذ، نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)، ثم نقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، وهكذا.

مصفوفة الوحدة : هي المصفوفة التي عناصر قطرها الرئيسي 1 وباقي العناصر 0 ويرمز لها بالرمز I.

المصفوفة المعكوسة : هي المصفوفة التي تضرب في المصفوفة الرئيسية ويكون الناتج مصفوفة الوحدة .

لإيجاد معكوس المصفوفة :

1 : نضرب  a11في a22 ونطرح من الناتج حاصل ضرب a12 في a21.

A22 –  a12× a21 = ∆×a11

A22    -a12 -a21     a11

2 : [               ] × ( ∆ ÷ 1)